初學者線性代數從頭講起 - 幾何、代數與演練 - 工資系一年級 蔡佳璇
課程名稱►初學者線性代數從頭講起 - 幾何、代數與演練 授課教師►數學系 許瑞麟老師
心得分享者►工資系一年級 蔡佳璇
前言
當初因為系主任王逸琳教授推薦這堂線性代數課程，加上系上高年級有相關的選修課，讓我想藉由這堂為初學者設計的線性代數課程，先預習基礎知識，因此與系上的同學一起修課。同時也可以運用寒假時間充實自我，並且在五天的密集課程中獲得2學分的通識學分，真的是一舉多得。
授課老師
每日的課程分為兩個部分：上午由許瑞麟教授進行線性代數的概念講解，下午先由老師再上1至1.5小時的課程，最後是上助教課。
這個課程以2*2矩陣為主，之後延伸到N*N矩陣，因此上課內容由淺入深。每個數學觀念許教授都講解得非常詳細，並利用生活實例及教授自身的工作經歷，讓我們理解線性代數在其他學科及產業中的應用，不會僅停留在枯燥的數字運算層面。加上老師將線性代數與過去高中數學及微積分所學的知識做連結，替我帶來全新的領悟和視角。
助教課主要是複習當天上午的課程內容，並利用Jupyter練習如何撰寫Python程式協助矩陣運算。最後每日課程結束前會進行小考驗收。
課程內容
最初我以為這堂線性代數課程會像網路上開放式課程那樣，大多是數值運算。沒想到這門課十分重視數學概念的推導與理解，這一點帶給我許多前所未有的思維啟發。
第一天的課程中，老師以簡單的幾何模型，運用數學歸納法推導N維空間的幾何圖像，得出了超乎常理的結果。這也讓我意識到，原來數學的研究並不僅限於計算數字，而是人類透過邏輯去推理高維度空間的未知世界，這或許才是數學的真正意圖。
老師還將向量與解線性聯立方程式做連結，指出高斯消去法在幾何上就是運用了剪力去旋轉平面直到與座標面平行。那一刻，我才發現高中所學的數學和這堂線性代數的知識是具有關聯性的。
令我印象深刻的是，第四天課程一開始，老師以兩個不同領域為例，分別是工程領域的彈簧質點系統與管理領域的造紙產業，講解線性代數的實際應用。這讓我驚覺數學在各個領域的普遍性與重要性。這些產業中的例子說明了數學的應用範圍比我們想像中都要廣泛得多。「人不會去做預測，而是建模型去做預測。」許老師這段話深深啟發了我，讓我更加理解數學的重要性。許老師分享的親身經歷故事，也讓我對自己「跨領域」的想法更加堅定。
當課程進入中段時，真的如同老師所說，課程會逐漸陡深。第三天的課程，老師講解許多矩陣的重要形式，例如投影矩陣、正交矩陣、秩一矩陣、對角化矩陣及行列式等不同矩陣的性質，讓我對於矩陣名詞的定義更加清楚。不過隨著知識量與難度的堆疊，老師在講解正定與半正定矩陣，以及Eigenvalue的概念，要將數字運算連結較抽象的空間圖形時，明顯能夠感受到難度加深，雖然知識量很大，很難在上課中完全理解消化，不過感覺一整日的課程非常充實，有很多收穫和啟發。
原本我以為當天課程會在疑惑與迷茫中結束，但在下午的助教課上，看到助教在黑板上寫出如何將矩陣A透過特徵值寫成RΛR^T的形式時，我突然想起上學期在修系上的管理數學課程時，老師曾在簡報中展示將原始矩陣A寫成PDP^(-1)的形式，以簡化矩陣A自乘n次的複雜計算。記得當時我下課後去詢問老師P和D是如何找出的，老師回答說需要用到線性代數中的Eigenvalue才能完成這個過程。沒想到在最後一天的助教課，我頓時恍然大悟，這個長達好幾個月的疑問終於在這次模組化課程中解開。
每日下午的助教課除了複習當天的內容，還教我們運用Python來計算複雜的矩陣運算，例如反矩陣、轉置矩陣、Eigenvalue與矩陣的Cholesky分解等。透過程式工具與數學運算的結合，實現了跨領域的整合能力。
每一天上完模組化課程後，總會覺得資訊量極大，到最後兩天甚至覺得負荷過重，但每一天都會獲得嶄新的知識和思考角度。五天的課程內容非常扎實，收穫良多。
心得與反思
我雖然尚未能完全理解所有課程內容，但這課程仍給了我許多啟發。相信隨著未來學習更多數學工具，我將會漸漸領悟這些知識的真正內涵。就像第三天的課程中，老師講解如何求多維矩陣的行列式值，讓我想起在修習系上管理數學課程的Markov Chain時，曾經為了求三維矩陣的行列式值而花了很多時間研究Youtube教學影片。當時考完試後發現這些解題技巧並沒有被用到，覺得自己白費功夫。但現在回頭來看，我非常感謝當初自己有這樣的好奇心和行動力。因為自己嘗試過後，才能體會到算三維矩陣乃至更高N維矩陣行列是有多麼複雜，也讓我在這堂模組化課程中，理解到老師所說的，多維度矩陣的行列式值其實是透過逐次降維來求得的。
有些事情，當下看似毫無意義，但可能在未來的某一天、某一刻，才會發現它的價值與寓意。許老師也說，對於自己現在沒有能力理解的知識可以先記下來，為將來某個契機「觸發」你的記憶，並在那一刻領悟道理來預作準備，就如同我自己在最後一天的助教課上，突然理解多個月前的上課內容一樣。因此在學習上，應該給自己更多一點耐心。
許老師上課說到：「創意來自懂得多、看得多、學得多」。上完這週的模組化課程，聽完老師講解令人不可思議的N維度空間，以及產業不為人知的現況，只能承認自己還真懂得太少。真正的強者能夠達到那樣的高度，是經過好幾十年的淬煉和堆積而成。看清自己能力與經驗上的不足，我會帶著這五天在知識與思維上的收穫，保持熱誠和好奇心，繼續充實自己，持續朝著跨領域的方向努力。
關鍵字 #成大模組化 #線性代數 #程式 #思維開發 #跨領域
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