微分幾何學初步- 機械工程學系 簡昊昱
課程名稱►微分幾何學初步 授課教師►數學系 劉珈銘老師
心得分享者►機械工程學系簡昊昱
前言：
幾個月前，我在YouTube看到台大數學系李瑩英教授的專訪，內容是關於數學幾何分析、極小曲面，我被影片中該領域知識深深吸引。過去修微積分和工程數學時，我就很喜歡數學推導的過程和微分相關的知識。但由於印象中數學系的課程難度較高，工學院的我怕跟不上進度，遲遲不敢在學期間選修數學系的課程。偶然間在瀏覽模組化課程清單時，發現到「微分幾何學初步」，因此報名此門課程，期許自己能獲取該領域的基本知識。
授課老師：
由於此門課程修課人數只有十餘位，因此劉珈銘教授在授課時很鼓勵學生發言，藉此來找出學生觀念上的盲點。教授也會根據學生的反應和回答內容調整授課速度與內容，以及複習和補充相關知識。在遇到較為艱深難懂的觀念時，教授會以生活化的舉例，方便學生理解和吸收，並介紹該領域知識的實際應用，如：動畫建模、廣義相對論等。使難以捉摸、較為抽象的數學觀念，能夠具體化在學生腦海中。劉教授幽默風趣，拉近了師生之間的距離，也會在下課時間詢問學生是否有不理解之處。授課時以板書為主，並以繪圖軟體、電腦視覺化圖像、投影片以及影片輔助教學。
每天課程結束後，會進行演習、問題與討論。習題內容皆為當天上課內容，也包含證明題。習題難度我認為屬於中等偏難，但可以和不同科系的同學一起討論、交換彼此的想法，助教也會時刻關心同學的學習、作答進度，若有疑問也能立即詢問助教。我認為這堂課的習題很大地幫助了自己統整學習內容，並檢視上課學習成效。
課程：
微分幾何是一門研究微分流形之幾何性質的學問，主要內容為曲線論和曲面論。課程主題以微積分為基石與工具，因此會用到大量微積分、偏微分。我認為修習過微積分（一）和微積分（二）即可面對此門課程。課程從歐幾里得空間、三角形內角和出發，由淺入深、循序漸進、環環相扣，一步一步引導學生進入微分幾何學的思考世界。
第一堂課首先介紹數學的基本概念，包含：命題（proposition）、公理（axiom），並深入探討歐幾里得第五公設。接著利用中間值定理、反函數定理分析曲線（curve），包含：軌跡、參數曲線、正規曲線、切向量、重新參數化。儘管有些數學名詞我是第一次接觸，但教授透過清晰的數學定義和講解使我很快速的進入狀況，並加以吸收理解。
第二堂課利用微積分基本定理繼續分析曲線，介紹曲率、弧長參數化和Frenet frame T , N , B 
，用以描述連續可微曲線上的運動情形。這部分的課程都是一系列微分的推導，但教授除了數學觀點外，也利用物理的觀點講解，使我便於理解。接著教授帶入拓樸學，包含：open ball、內點與外點、open set和neighborhood。這雖然是我第一次接觸拓樸學，但教授利用生動的舉例，使我能大致理解，並將其與微分幾何學做出連結。
，用以描述連續可微曲線上的運動情形。這部分的課程都是一系列微分的推導，但教授除了數學觀點外，也利用物理的觀點講解，使我便於理解。接著教授帶入拓樸學，包含：open ball、內點與外點、open set和neighborhood。這雖然是我第一次接觸拓樸學，但教授利用生動的舉例，使我能大致理解，並將其與微分幾何學做出連結。第三堂課介紹Jacobian matrix、及相關線性代數的觀念，並利用前幾堂課累積的觀念討論參數曲面，課程於此階段開始用到大量的偏微分觀念和計算。
第四堂課談到Gauss–Bonnet theorem、高斯曲率、測地三角形、座標變換和surface integral，並利用這些觀念回到課程一開始的問題，探討不同高斯曲率的情況下三角形的內角和。
最後一堂課討論Gaussian curvature的計算，並將曲線、曲面、曲率和整個課程所學的觀念做出連結、統整。總結而言，我認為此門課程具有一定的難度，會用到大量的微積分觀念和計算，且習題演練包含數學證明題，如何用數學語言精確描述上課所學的觀念和定理對我而言是一大挑戰。由於我是出於興趣而選修，因此最後我帶著滿滿的收穫完成課程。
心得：
模組化課程制度下，我可以在密集時間內大致了解該門學問的核心內涵。有別於18周的學期課程，模組化課程讓我能夠很快、很有效率的掌握一門學科該具備的基本觀念與核心理念，一個禮拜內專注於一門學科使我能有效率的將零散的觀念進行整合、系統性的連貫學習。若對該門學問有濃厚興趣，可以在之後的學期選修相關課程，也可以透過模組化課程檢視自己在上學期課程的學習盲點或可以進步的地方。且由於修課人數採小班制，教授、學生、助教之間有充足機會討論、分享彼此的心得，並在教授和助教的帶領下做出數學證明和習題練習。
成大有充足且完整的學院師資，模組化課程也開設多樣化、多領域且具有一定難度、深度的專業課程，低年級的同學可以藉此開闊自己的視野、拓展領域知識以及尋找未來研究的方向，而高年級的同學可以針對自己有興趣或研究領域深入學習。在寒暑假彈性、跨域的選課規劃，一方面獲得知識、一方面獲得學分，並藉此調整下個學期的選課規劃，是模組化課程的優勢和吸引我的點。
在授課風格和課程題材下，我認為在這堂課我不僅複習了大一微積分，更重要的是培養邏輯推導和嚴謹的數學證明的能力。以往工學院的課程訓練中，「證明」往往只是針對既有的公式進行簡單的運算和推導，主要專注的是公式的應用情境和分析對象。然而此次課程讓我重新審視自己數學領域的能力。綜觀而言，此門課程滿足我獲取微分幾何領域知識的好奇心、培養我該具備的數學能力，也讓我開拓對自己未來的規劃。
關鍵字 #成大模組化 #大量微積分 #師生互動 #練習數學證明 #曲線與曲面
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