邏輯及應用 - 物理系二年級 曾俊翰
課程名稱►邏輯及應用 授課教師►數學系 柯文峰老師
心得分享者►物理系二年級 曾俊翰
前言
記得小時候在舊書店看過一本書，名叫「非是非非─邏輯奇幻之旅」，這本書以小說筆法敘事，收錄了古今中外的「悖論」故事，令我印象深刻。那是我初探哲學、邏輯學的經歷，雖然之後沒有以此作為人生目標，但心中仍存有一些熱情，想要系統性的學習邏輯知識。於是在琳瑯滿目的模組化課程中，我選擇報名了「邏輯及應用」這門課。
授課風格
這門課的授課老師是成大數學系的柯文峰教授。老師多半使用投影片講解上課內容，遇到例題則一步步地在黑板上解題。最後一堂課會有一次小考，佔總成績的60%，小考題目和上課練習的例題很相似，而且考試中可以參考課堂講義，主要是測驗同學們能否消化吸收課程內容。課程結束後需撰寫一份心得報告，梳理上課內容及給出感想。由於這門課的內容一環扣著一環，老師經常會詢問同學們有沒有疑問，並即時給予解答，避免同學們無法理解進一步的課程。
課程內容概述
邏輯從古希臘開始發展，至今已有超過兩千年的歷史，例如三段式論證(syllogism)和Euclid的五個幾何公設(axioms)，都是古希臘著名的邏輯系統。到了近代，隨著不同領域的發展，也產生不同種類的邏輯模式。這門課主要討論的是數學家Gottlob Frege發展的語句邏輯(sentential logic)，或稱之為命題邏輯(propositional logic)。語句邏輯是一門研究語句是否一致(consistent)的學問，若存在至少一種情況能讓一羣敘述(a set of sentences)擺在一起同時為真，則稱它們一致，否則稱為不一致。比如：「我發明了一個鎮靜劑可以讓人更興奮。」這個句子就出現前後矛盾的情況，屬於不一致。除了研究語句一致性以外，還有論證(argument)。論證是由一些前提敘述P1,P2,…,Pk推論到一個結論Q，形式記如P1,P2,…,Pk : Q。一個論證可以是有效(valid)或無效的，檢驗論證有效與否可以使用反證法：將結論的否定¬ Q和前提P1,P2,…,Pk擺在一起，若這些敘述是不一致的，則這個論證是有效的。
在語句邏輯中有五種基本的運算子：非(¬)、與(∧)、或(∨)、若...則...(→)、若且唯若(↔)。這些運算子可以連接兩個語句，形成更複雜的語句結構。例如：「如果今天下雨，我的登山計畫就泡湯了。」這句話是由連接詞「若...則...」，連接「今天下雨」和「我的登山計畫泡湯了」兩個敘述。
這門課介紹了三種檢驗語句一致性的方法：真值表(Truth table)、樹狀圖(Truth tree)和直接證明(Direct proof)。真值表是列出所有語句的「真假的可能性」，只要存在至少一種可能使得所有語句同時為真，則這些語句是一致的。複雜的語句可以透過真值表得出所有可能的結果，然而計算上比較繁瑣，因此產生了樹狀圖、直接證明兩種方法簡化真值表。樹狀圖根據真值表定義了「消除符號」(elimination)，當多個語句被運算子連接成一個語句，可以運用消除符號進行簡化。直接證明主要用來證明論證的有效性，由前提出發，利用一些證明過的規則，直接推導出結論。
前述的語句邏輯無法完整的描述量詞(quantifier)，此時必須引入兩個基本量詞—所有(∀)和存在(∃)。這種邏輯稱為Quantifier Logic。在Quantifier Logic中，語句的「主詞」(subject)和「述詞」(predicate)必須用不同的符號分開表示，以便精確地描述語句中的邏輯關係。例如：分析「我有一個小孩是律師」這句話，可以先定義「x」表示小孩，「Cx」表示我的小孩，「Lx」表示小孩是律師，這句話在邏輯上就能表示為∃x [Cx^Lx]。
老師最後介紹邏輯在各個領域的應用，包括分析語言結構、證明數學定理等等。老師也舉出了幾個日常生活常犯的邏輯謬誤(fallacy)，再次強調邏輯的重要性。比如：A→B未必保證B→A，A→B也未必確保¬A→¬B。又例如提出的證據與結果無關，就不具備證明的效果；或很多人常忽略前提的其他可能性；或不小心讓前提推得結論，結論又再回推前提形成迴圈等等。
心得
邏輯除了廣泛運用在計算機的邏輯閘、數學證明之外，對於一般人而言，邏輯最重要的是分辨一個敘述的真偽，讓表達精準、思路清晰。作為一個理工科的學生，我在這堂課學到如何更嚴謹的設計實驗，推導基礎原理，不要犯下邏輯失誤而功虧一簣。當實驗條件具備時，我也能透過邏輯推論，證明我的論證為真，這是我收穫最大的地方。
邏輯推論在科學研究是絕對必要的，但其實日常生活中不常使用如此精確嚴謹的邏輯。我不會因為朋友講話沒有邏輯就跟他絕交，也不會時時用邏輯運算檢視自己的生活。上完這門課，揭開邏輯的真面目，我才發覺邏輯的精確性並不如想像中有趣。我花很多時間斟酌使用邏輯運算規則，確認每一步推論都是正確的才敢下出結論，這些過程有時會令人感到枯燥、繁瑣。然而得到結論的那一刻，我感到非比尋常的快樂，彷彿茫茫大海中找到一座孤島，真正確定了一些事。推薦這門課給喜歡「思考」，對「邏輯」有興趣的同學們。
關鍵字 #成大模組化 #語句邏輯 #命題邏輯 #若P則Q
